1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠DCO.

### 1. Так как $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ опираются на общую точку $O$ и образуют вертикальные углы $\angle AOB = \angle COD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$: - $AB = CD$ (дано) - $\angle AOC = 110^\circ$ — это внешний угол для треугольников. Поскольку углы в треугольнике в сумме дают $180^\circ$: В $\triangle ABO$: $\angle ABO = 65^\circ$. $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ (так как $A, O, C$ лежат на одной прямой неверно, здесь $O$ - точка пересечения диагоналей, $\angle AOC = 110^\circ$). В $\triangle DCO$: $\angle ADC = 45^\circ$. $\angle COD = \angle AOB$ (вертикальные). Зная углы, можно найти $\angle DCO = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$. ### 2. Пусть углы при основании $AC$ равны $\alpha$. Тогда $\angle A = \angle C = \alpha$. Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ$. $\alpha + \alpha + 156^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 24^\circ \implies \alpha = 12^\circ$. Углы треугольника: $12^\circ, 12^\circ, 156^\circ$. ### 3. Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — равнобедренные, $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (прямоугольные), имеют общее основание $AC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$. Так как $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$ и $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$, то $\angle BAC = \angle DCA = 45^\circ$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.