15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

Для решения задачи составим схему погашения кредита. Пусть $S$ — сумма кредита в тысячах рублей, $r = 0,03$ — процентная ставка (3%). 1. Согласно условию, долг уменьшается на 80 тыс. руб. ежемесячно в течение первых 10 месяцев. Остатки долга на 15-е число каждого месяца: $S_0 = S$ $S_1 = S - 80$ $S_2 = S - 160$ ... $S_{10} = S - 10 \cdot 80 = S - 800$ $S_{11} = 0$ (долг погашен полностью) 2. Выплаты состоят из части основного долга и процентов на текущий остаток: $P_n = (S_{n-1} - S_n) + r \cdot S_{n-1}$ 3. Общая сумма выплат — это сумма всех изменений долга (равна $S$) плюс сумма всех начисленных процентов: $\\sum P = S + r \cdot (S_0 + S_1 + S_2 + ... + S_{10})$ $\\sum P = S + 0,03 \cdot (S + (S-80) + (S-160) + ... + (S-720) + (S-800))$ В скобках 11 слагаемых, образующих арифметическую прогрессию: $\\sum P = S + 0,03 \cdot \\frac{S + (S-800)}{2} \cdot 11 = S + 0,03 \cdot (S-400) \cdot 11$ $1198 = S + 0,33 \cdot S - 132$ $1,33S = 1330$ $S = 1000$ (тыс. руб.) 4. Найдем долг на 15-е число 10-го месяца: $S_{10} = S - 800 = 1000 - 800 = 200$ (тыс. руб.) Ответ: 200 тысяч рублей.