Решите неравенство (3x^2 - 2x - 1) / (5x + 1) <= 0

**Ответ: $x \in (-\infty; -0,2) \cup [-1/3; 1]$** Для решения неравенства $\frac{3x^2 - 2x - 1}{5x + 1} \le 0$ воспользуемся методом интервалов. 1. **Найдём нули числителя:** $3x^2 - 2x - 1 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$ $x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1$ $x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ 2. **Найдём нули знаменателя (ОДЗ):** $5x + 1 \neq 0 \implies x \neq -0,2$ 3. **Расставим точки на числовой прямой:** Точки $x = 1$ и $x = -1/3$ закрашенные (так как неравенство нестрогое $\le$), а точка $x = -0,2$ выколотая (так как знаменатель не может быть равен нулю). Числа в порядке возрастания: $-1/3 \approx -0,33$; $-0,2$; $1$. 4. **Определим знаки на интервалах:** - $(1; +\infty)$: возьмём $x=2 \implies \frac{+}{+} > 0$ - $(-0,2; 1]$: возьмём $x=0 \implies \frac{-}{+} < 0$ (подходит) - $[-1/3; -0,2)$: возьмём $x=-0,25 \implies \frac{3(0,0625)+0,5-1}{-1,25+1} = \frac{-}{-} > 0$ - $(-\infty; -1/3]$: возьмём $x=-1 \implies \frac{3+2-1}{-5+1} = \frac{+}{-} < 0$ (подходит) Объединяя подходящие промежутки, получаем: $x \in (-\infty; -0,2) \cup [-1/3; 1]$. Обрати внимание, что я переставил интервалы в правильном порядке возрастания: $(-1/3)$ меньше чем $(-0,2)$, поэтому верный порядок на прямой: $-1/3 \rightarrow -0,2 \rightarrow 1$. Знаки будут: $(-)$ на $(-\infty; -1/3]$, $(+)$ на $[-1/3; -0,2)$, $(-)$ на $(-0,2; 1]$ и $(+)$ на $[1; +\infty)$.