Решить неравенство: $$\frac{(x-1)^2 (x+2)}{x-3} > 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $$(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$$ $$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ $$x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ Отметим эти точки на числовой прямой: :::div .chart-container @chart-1::: Исследуем знаки выражения на полученных интервалах: 1. При $$x < -2$$, например $$x = -3$$: $$\frac{(-3-1)^2 (-3+2)}{-3-3} = \frac{(-4)^2 (-1)}{-6} = \frac{16 \cdot (-1)}{-6} = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3} > 0$$ 2. При $$-2 < x < 1$$, например $$x = 0$$: $$\frac{(0-1)^2 (0+2)}{0-3} = \frac{(-1)^2 (2)}{-3} = \frac{1 \cdot 2}{-3} = -\frac{2}{3} < 0$$ 3. При $$1 < x < 3$$, например $$x = 2$$: $$\frac{(2-1)^2 (2+2)}{2-3} = \frac{(1)^2 (4)}{-1} = \frac{1 \cdot 4}{-1} = -4 < 0$$ 4. При $$x > 3$$, например $$x = 4$$: $$\frac{(4-1)^2 (4+2)}{4-3} = \frac{(3)^2 (6)}{1} = \frac{9 \cdot 6}{1} = 54 > 0$$ Учитывая, что при $$x=1$$ знак не меняется, так как множитель $$(x-1)^2$$ всегда неотрицателен, и $$x \neq 3$$ Нам нужны интервалы, где выражение строго больше нуля: $$x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$$ **Ответ:** $$(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$$