Решите неравенство: $\frac{(2-x)x}{x-3} \ge 0$

1) У нас есть неравенство: $$\frac{(2-x)x}{x-3} \ge 0$$ Сначала найдём нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $$(2-x)x = 0$$ Это значит, что $2-x = 0$ или $x = 0$. $$-x = -2 \Rightarrow x = 2$$ Итак, нули числителя: $x = 0$ и $x = 2$. Нуль знаменателя: $$x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ Значение $x = 3$ делает знаменатель равным нулю, поэтому $x \ne 3$. Теперь расставим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $0, 2, 3$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Определим знак выражения на каждом интервале. Удобнее преобразовать числитель, чтобы коэффициент при $x$ был положительным: $$(2-x)x = -(x-2)x = -x(x-2)$$ Тогда неравенство примет вид: $$\frac{-x(x-2)}{x-3} \ge 0$$ Чтобы избавиться от минуса в числителе, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$\frac{x(x-2)}{x-3} \le 0$$ Теперь рассмотрим интервалы: * **Интервал $(-\infty, 0)$:** Возьмём, например, $x = -1$. $$\frac{(-1)(-1-2)}{(-1-3)} = \frac{(-1)(-3)}{(-4)} = \frac{3}{-4} < 0$$ На этом интервале выражение отрицательно. * **Интервал $[0, 2]$:** (0 и 2 включены, так как неравенство $\le 0$) Возьмём, например, $x = 1$. $$\frac{(1)(1-2)}{(1-3)} = \frac{(1)(-1)}{(-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0$$ На этом интервале выражение положительно. * **Интервал $[2, 3)$:** (2 включено, 3 не включено, так как на 3 знаменатель равен 0) Возьмём, например, $x = 2.5$. $$\frac{(2.5)(2.5-2)}{(2.5-3)} = \frac{(2.5)(0.5)}{(-0.5)} = \frac{1.25}{-0.5} < 0$$ На этом интервале выражение отрицательно. * **Интервал $(3, +\infty)$:** Возьмём, например, $x = 4$. $$\frac{(4)(4-2)}{(4-3)} = \frac{(4)(2)}{(1)} = \frac{8}{1} > 0$$ На этом интервале выражение положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно 0. Значит, подходят интервалы, где выражение отрицательно, а также точки, где оно равно 0 (нули числителя). **Ответ:** $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3)$