Вариант 4. 1. Даны точки A(1; 5), B(-3; 2) и C(2; 3). Найдите: 1) координаты векторов CA и CB; 2) модули векторов CA и CB; 3) координаты вектора DM = 3CA - 4CB; 4) скалярное произведение векторов CA и CB; 5) косинус угла между векторами CA и CB.

**Задание 1** Даны точки $A(1; 5)$, $B(-3; 2)$ и $C(2; 3)$. 1) Координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. $\vec{CA} = (1 - 2; 5 - 3) = (-1; 2)$ $\vec{CB} = (-3 - 2; 2 - 3) = (-5; -1)$ 2) Модули векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ $|\vec{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ 3) Координаты вектора $\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}$: $3\vec{CA} = 3 \cdot (-1; 2) = (-3; 6)$ $4\vec{CB} = 4 \cdot (-5; -1) = (-20; -4)$ $\vec{DM} = (-3 - (-20); 6 - (-4)) = (17; 10)$ 4) Скалярное произведение векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-5) + 2 \cdot (-1) = 5 - 2 = 3$ 5) Косинус угла между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$ **Задание 2** 1) $\vec{DE} + \vec{EF} = \vec{DF}$ (по правилу треугольника); 2) $\vec{ED} - \vec{EF} = \vec{FD}$ (разность векторов с общим началом); 3) $\vec{FE} + \vec{FD} = \vec{FK}$, где $K$ — четвертая вершина параллелограмма $EDFK$ (по правилу параллелограмма). **Задание 3** Даны $\vec{a}(x; 10)$ и $\vec{b}(-5; 4)$. 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{x}{-5} = \frac{10}{4} \Rightarrow 4x = -50 \Rightarrow x = -12,5$ 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $x \cdot (-5) + 10 \cdot 4 = 0 \Rightarrow -5x + 40 = 0 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8$ **Задание 4** В параллелограмме $ABCD$: $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$. Тогда $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}$, $\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{a}$. $AS : SD = 5 : 3 \Rightarrow \vec{AS} = \frac{5}{8}\vec{AD} = \frac{5}{8}\vec{b}$ $CT : TD = 2 : 1 \Rightarrow \vec{CT} = \frac{2}{3}\vec{CD} = \frac{2}{3}\vec{a}$ По правилу многоугольника: $\vec{ST} = \vec{SA} + \vec{AC} + \vec{CT}$ $\vec{SA} = -\frac{5}{8}\vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$ $\vec{ST} = -\frac{5}{8}\vec{b} + (-\vec{a} + \vec{b}) + \frac{2}{3}\vec{a} = (\frac{2}{3} - 1)\vec{a} + (1 - \frac{5}{8})\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$ **Задание 5** $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. $\vec{m} \cdot \vec{n} = (3\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + 4\vec{b}) = 3\vec{a}^2 + 12\vec{a}\vec{b} - \vec{b}\vec{a} - 4\vec{b}^2 = 3 \cdot 1^2 + 0 - 0 - 4 \cdot 1^2 = 3 - 4 = -1$ $|\vec{m}| = \sqrt{(3\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{9\vec{a}^2 - 6\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$ $|\vec{n}| = \sqrt{(\vec{a} + 4\vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 8\vec{a}\vec{b} + 16\vec{b}^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ $\cos \angle(\vec{m}, \vec{n}) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{170}}$