Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите координаты векторов, их модули, скалярное произведение и косинус угла.

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы по векторам. **Задание 1** Даны точки $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$. 1) Координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. $\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$ $\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$ 2) Модули векторов (длина): $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 3) Координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$: $3\vec{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$ $2\vec{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$ $\vec{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; -10)$ 4) Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CA}$: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$ 5) Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$ **Задание 2** Построение векторов (правило треугольника и параллелограмма): 1) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (по правилу треугольника: конец первого совпадает с началом второго). 2) $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{AC}$ (разность векторов с общим началом). 3) $\vec{AB} + \vec{AC}$ — строится по правилу параллелограмма, это будет диагональ, выходящая из точки $A$. **Задание 3** Даны $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. 1) Коллинеарны: координаты пропорциональны. $\frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$ 2) Перпендикулярны: скалярное произведение равно $0$. $2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1$ **Задание 4** В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. $AF:FB = 1:4 \Rightarrow \vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{a}$. $BE:EC = 1:3 \Rightarrow \vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$. По правилу многоугольника: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$. **Задание 5** $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$, $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, при этом $\vec{m} \perp \vec{n}$ (значит $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$) и $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m})(3\vec{n} - \vec{m}) = 3\vec{n}^2 - \vec{n}\vec{m} + 6\vec{m}\vec{n} - 2\vec{m}^2 = 3(1)^2 + 0 + 0 - 2(1)^2 = 1$. Длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2} = \sqrt{(\vec{n} + 2\vec{m})^2} = \sqrt{\vec{n}^2 + 4\vec{n}\vec{m} + 4\vec{m}^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$. $|\vec{b}| = \sqrt{\vec{b}^2} = \sqrt{(3\vec{n} - \vec{m})^2} = \sqrt{9\vec{n}^2 - 6\vec{n}\vec{m} + \vec{m}^2} = \sqrt{9 - 0 + 1} = \sqrt{10}$. Косинус угла: $\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.