1. Даны точки А(3;-2), B(1;-1) и С (-1;1) Найдите:

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по векторам. ### Задание 1 Даны точки A(3; -2), B(1; -1), C(-1; 1). 1) Координаты векторов: Координаты вектора находятся вычитанием из координат конца координат начала: $\vec{BA} = (3-1; -2-(-1)) = (2; -1)$. $\vec{BC} = (-1-1; 1-(-1)) = (-2; 2)$. 2) Модули векторов: $|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$. $|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. 3) Координаты вектора $\vec{MP} = 4\vec{BA} - \vec{BC}$: $4\vec{BA} = 4 \cdot (2; -1) = (8; -4)$. $\vec{MP} = (8 - (-2); -4 - 2) = (10; -6)$. 4) Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2 \cdot -2) + (-1 \cdot 2) = -4 - 2 = -6$. 5) Косинус угла $\cos \phi$: $\cos \phi = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-6}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}} = \frac{-6}{\sqrt{40}} = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. ### Задание 2 Для построения используй правило треугольника (вектор суммы идет от начала первого к концу второго) или правило вычитания (от конца вычитаемого к концу уменьшаемого): 1) $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$. 2) $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{AC}$. 3) $\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}$ (где D — четвертая вершина параллелограмма ABCD). ### Задание 3 $\vec{m}(2; p), \vec{n}(9; -3)$. 1) Коллинеарны (координаты пропорциональны): $\frac{2}{9} = \frac{p}{-3} \Rightarrow p = -3 \cdot \frac{2}{9} = -\frac{2}{3}$. 2) Перпендикулярны (скалярное произведение равно 0): $2 \cdot 9 + p \cdot (-3) = 0 \Rightarrow 18 - 3p = 0 \Rightarrow p = 6$. ### Задание 4 Параллелограмм ABCD. $\vec{CD} = \vec{a}, \vec{CB} = \vec{b}$. Тогда $\vec{AB} = \vec{CD} = \vec{a}$ (векторы равны, если сонаправлены и равны по длине), $\vec{AD} = \vec{CB} = \vec{b}$. $\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}$. $AE:EB = 7:2$, значит $\vec{AE} = \frac{7}{9}\vec{AB} = \frac{7}{9}\vec{a}$. $AF:FD = 5:1$, значит $\vec{AF} = \frac{5}{6}\vec{AD} = \frac{5}{6}\vec{b}$. $\vec{EF} = \frac{5}{6}\vec{b} - \frac{7}{9}\vec{a}$. ### Задание 5 $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$, $\vec{c} = \vec{m} + 3\vec{n}$, $|\vec{m}|=1, |\vec{n}|=1, \vec{m} \perp \vec{n} \Rightarrow \vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. $\cos \angle(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|}$. Скалярное произведение: $(6\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = 6\vec{m}^2 + 18\vec{m}\cdot\vec{n} - \vec{n}\cdot\vec{m} - 3\vec{n}^2 = 6|\vec{m}|^2 + 0 - 3|\vec{n}|^2 = 6 - 3 = 3$. Квадраты длин: $|\vec{b}|^2 = (6\vec{m} - \vec{n})^2 = 36\vec{m}^2 - 12\vec{m}\cdot\vec{n} + \vec{n}^2 = 36 + 1 = 37 \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{37}$. $|\vec{c}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n})^2 = \vec{m}^2 + 6\vec{m}\cdot\vec{n} + 9\vec{n}^2 = 1 + 9 = 10 \Rightarrow |\vec{c}| = \sqrt{10}$. Косинус: $\frac{3}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{370}} = \frac{3\sqrt{370}}{370}$.