Вычислить log5 625, решить уравнения с логарифмами.

**Ответы на задания:** 1. $\log_{5} 625 = 4$, так как $5^4 = 625$. 2. $\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$, так как $25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$. 3. $\log_{8} \log_{4} 64 = \log_{8} 3$. Так как $4^3 = 64$. (Если в условии опечатка и там $\log_{9}$, то $\log_{9} 3 = 0,5$). 4. $\frac{\lg 81}{\lg 3} = \log_{3} 81 = 4$. 5. $\log_{3} 4 - \log_{3} 16 + \log_{3} \frac{4}{9} = \log_{3} (\frac{4 \cdot 4}{16 \cdot 9}) = \log_{3} \frac{1}{9} = -2$. 6. $2\log_{7} 27 - \log_{7} 81 - 2\log_{7} 21 = \log_{7} \frac{27^2}{81 \cdot 21^2} = \log_{7} \frac{729}{81 \cdot 441} = \log_{7} \frac{9}{441} = \log_{7} \frac{1}{49} = -2$. 7. $2\log_{2} 8 + \log_{2} \frac{15}{4} - \log_{2} 15 = 2 \cdot 3 + \log_{2} (\frac{15}{4 \cdot 15}) = 6 + \log_{2} \frac{1}{4} = 6 - 2 = 4$. 8. $\lg 3 (\log_{3} 25 + \log_{3} 2 - \log_{3} 5) = \lg 3 (\log_{3} \frac{25 \cdot 2}{5}) = \lg 3 \cdot \log_{3} 10 = \lg 10 = 1$. 9. $36^{\log_{6} 3} - \log_{36} 27 = (6^2)^{\log_{6} 3} - \log_{6^2} 3^3 = 6^{\log_{6} 3^2} - \frac{3}{2} \log_{6} 3 = 9 - 1,5 \log_{6} 3$. (Возможно в задании опечатка в знаке или основании). 10. $\log_{3}(3 - x) = 3 \Rightarrow 3 - x = 3^3 \Rightarrow 3 - x = 27 \Rightarrow x = -24$. 11. $\log_{\frac{1}{7}}(9 - x) = -2 \Rightarrow 9 - x = (\frac{1}{7})^{-2} \Rightarrow 9 - x = 49 \Rightarrow x = -40$. 12. $\log_{3}(x + 7) = \log_{3}(2x - 15) \Rightarrow x + 7 = 2x - 15 \Rightarrow x = 22$. 13. Замена $t = \log_{\frac{1}{2}} x$: $3t^2 + 5t - 2 = 0$. $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49$. $t_1 = \frac{1}{3}$, $t_2 = -2$. $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; $\log_{\frac{1}{2}} x = -2 \Rightarrow x = 4$. 14. $(x - 1)^2 = 12x - x^2 - 19 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 12x - x^2 - 19 \Rightarrow 2x^2 - 14x + 20 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0$. $x_1 = 5, x_2 = 2$. Оба корня подходят под ОДЗ ($x-1 > 0, x-1 \neq 1$). 15. $\log_{4}(2x + 5) = \log_{4}(x + 11) \Rightarrow 2x + 5 = x + 11 \Rightarrow x = 6$.