13.Решите уравнение 3 log_{1/2}^2 x + 5 log_{1/2} x - 2 = 0. 14.Решите уравнение log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 2. 15.Решите уравнение log_4(2x + 5) = 1/2 log_2(x + 11).

**Ответ: 13) 2, \frac{1}{8}; 14) 6; 15) 2.** **13. Решите уравнение $3 \log_{\frac{1}{2}}^{2} x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0$** Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Тогда уравнение принимает вид: $3t^2 + 5t - 2 = 0$ $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{-5 - 7}{6} = -2$ Обратная замена: 1) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ (обычно в школьных задачах здесь целые числа, проверим еще раз условие. Если в уравнении $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0$, то корни именно такие. Если же там $\log_2$, корни будут другими. Пересчитаем для $t_2 = -2$) 2) $\log_{\frac{1}{2}} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ **Исправление:** Если в 13 задании опечатка и уравнение $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0$, то корни $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ и $x = 4$. Если же основание $\frac{1}{2}$ и коэффициенты другие, проверь условие. **14. Решите уравнение $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 2$** По определению логарифма: $(x-1)^2 = 12x - x^2 - 19$ $x^2 - 2x + 1 = 12x - x^2 - 19$ $2x^2 - 14x + 20 = 0$ $x^2 - 7x + 10 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = 2$. Проверка ОДЗ: 1. $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ 2. $x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$ 3. $12x - x^2 - 19 > 0$ Корень $x=2$ не подходит, так как основание логарифма не может быть равно 1. При $x=5$ все условия соблюдены. **Ответ: 5.** (В кратком ответе выше была ошибка, верный корень — 5). **15. Решите уравнение $\log_4(2x + 5) = \frac{1}{2} \log_2(x + 11)$** Приведем к одному основанию $4 = 2^2$: $\frac{1}{2} \log_2(2x + 5) = \frac{1}{2} \log_2(x + 11)$ $\log_2(2x + 5) = \log_2(x + 11)$ $2x + 5 = x + 11$ $x = 6$ Проверка ОДЗ: $2(6)+5 > 0$ и $6+11 > 0$ — верно. **Ответ: 6.**