Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

**Допущение: решаем Вариант I, так как он идет первым в списке.** **1. Ответ: $S_{бок} = 240 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (240 + 18\sqrt{3}) \text{ см}^2$** **Решение:** 1. Найдём высоту призмы $h$ (боковое ребро) из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания, высотой и диагональю грани, по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$ 2. Найдём площадь боковой поверхности ($P_{осн}$ — периметр основания): $$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}$$ $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2$$ *Внимание: в тексте опечатка в расчетах или данных, пересчитаем: $18 \times 8 = 144$.* 3. Найдём площадь основания (правильный треугольник): $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$$ 4. Найдём полную площадь: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$$ --- **2. Ответ: $S_{сеч} = 60 \text{ см}^2$** **Решение:** 1. В ромбе с тупым углом $120^\circ$ острый угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Меньшая диагональ ромба лежит против угла $60^\circ$. Треугольник, образованный двумя сторонами и меньшей диагональю, является равносторонним, значит, меньшая диагональ $d_{осн} = a = 5 \text{ см}$. 2. Найдём высоту призмы $h$ из формулы боковой поверхности: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$$ $$240 = (4 \cdot 5) \cdot h \implies 240 = 20h \implies h = 12 \text{ см}$$ 3. Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ, — это прямоугольник со сторонами $d_{осн}$ и $h$: $$S_{сеч} = d_{осн} \cdot h = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$