1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основание прямой призмы — ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

1. **Дано:** правильная треугольная призма, $a = 6$ см, $d_{грани} = 10$ см. **Найти:** $S_{бок}$, $S_{полн}$. 1) Боковая грань — прямоугольник со сторонами $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы). По теореме Пифагора: $h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ (см). 2) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot 6) \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144$ (см$^2$). 3) Площадь основания (правильный треугольник): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ (см$^2$). 4) Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3}$ (см$^2$). **Ответ:** $144$ см$^2$, $144 + 18\sqrt{3}$ см$^2$. 2. **Дано:** прямая призма, в основании ромб, $a = 5$ см, $\alpha = 120^\circ$, $S_{бок} = 240$ см$^2$. Сечение проходит через меньшую диагональ основания. **Найти:** $S_{сеч}$. 1) Найдем высоту призмы $h$. У ромба все 4 стороны равны, значит $P_{осн} = 4 \cdot 5 = 20$ см. $S_{бок} = P_{осн} \cdot h \Rightarrow 240 = 20 \cdot h \Rightarrow h = 12$ (см). 2) Найдем меньшую диагональ ромба $d_1$. Острый угол ромба равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Ромб с углом $60^\circ$ делится меньшей диагональю на два равносторонних треугольника. Значит, $d_1 = a = 5$ см. 3) Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ основания, является прямоугольником со сторонами $d_1$ и $h$. $S_{сеч} = d_1 \cdot h = 5 \cdot 12 = 60$ (см$^2$). **Ответ:** 60 см$^2$.