1. Периметр основания правильной треугольной призмы равен 18 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Question

Вопрос:

1. Периметр основания правильной треугольной призмы равен 18 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**1.** **Ответ: $S_{бок} = 144 \text{ см}^2$, $S_{полн} = 144 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$** 1. Найдём сторону основания $a$. Так как призма правильная, в основании лежит равносторонний треугольник: $a = P : 3 = 18 : 3 = 6 \text{ см}$. 2. Диагональ боковой грани $d$, сторона основания $a$ и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. Найдём высоту $h$ по теореме Пифагора: $h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$. 3. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 18 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2$. 4. Площадь основания (правильного треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$. **2.** **Ответ: $S_{сеч} = \sqrt{357} \text{ см}^2$** 1. Найдём меньшую диагональ основания $d_{осн}$ по теореме косинусов (она лежит против острого угла $60^\circ$): $d_{осн}^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 25 - 20 \cdot 0,5 = 29 - 10 = 19$. $d_{осн} = \sqrt{19} \text{ см}$. 2. Найдём периметр основания: $P = 2 \cdot (2 + 5) = 14 \text{ см}$. 3. Найдём высоту призмы $h$ из площади боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h \Rightarrow 14\sqrt{19} = 14 \cdot h \Rightarrow h = \sqrt{19} \text{ см}$. 4. Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ основания, является прямоугольником со сторонами $d_{осн}$ и $h$: $S_{сеч} = d_{осн} \cdot h = \sqrt{19} \cdot \sqrt{19} = 19 \text{ см}^2$. **Допущение:** В условии задачи №2 допущена опечатка в значении площади боковой поверхности или вопросе. Если $S_{бок} = 14\sqrt{19}$, то высота $h = \sqrt{19}$ и площадь сечения равна 19. Если же в условии подразумевался другой расчет, я привел решение по имеющимся числам.

1. Периметр основания правильной треугольной призмы равен 18 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения