В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 8, sin A = 1/4. Найдите BH.

**1. Ответ: 0,5** В треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^{\circ} $): 1. Из треугольника $ABC$: $AC = AB \cdot \cos A$. Так как $\sin A = \frac{1}{4}$, то $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. 2. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($ \angle H = 90^{\circ} $): $AH = AC \cdot \cos A = (AB \cdot \cos A) \cdot \cos A = AB \cdot \cos^2 A$. $AH = 8 \cdot (\frac{15}{16}) = \frac{15}{2} = 7,5$. 3. $BH = AB - AH = 8 - 7,5 = 0,5$. **2. Ответ: 6** Координаты векторов: $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(3; 0)$. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 2 \cdot 3 + 6 \cdot 0 = 6 + 0 = 6$. **3. Ответ: 62,5** Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то основание параллелепипеда — квадрат со стороной $a = 2R = 2 \cdot 2,5 = 5$. Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра $h = 2,5$. $V = a^2 \cdot h = 5^2 \cdot 2,5 = 25 \cdot 2,5 = 62,5$. **4. Ответ: 0,8** Всего участников 16. Сергей Хвостиков — один из них. Осталось 15 претендентов на игру с ним. Среди них $13 - 1 = 12$ спортсменов из России. Вероятность: $P = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$. **5. Ответ: 0,25** Сумма 9 очков при двух бросках возможна в случаях: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3). Всего 4 равновероятных исхода. Случай, где во второй раз выпало 5 очков, только один: (4;5). Вероятность: $P = \frac{1}{4} = 0,25$. **6. Ответ: 1** $\frac{24x}{x^2 + 23} = 1 \Rightarrow x^2 - 24x + 23 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 23$. Меньший корень: 1. **7. Ответ: -3** $(9x^2 + 4y^2 - (3x - 2y)^2) : (-4xy) = (9x^2 + 4y^2 - (9x^2 - 12xy + 4y^2)) : (-4xy) = (12xy) : (-4xy) = -3$. **8. Ответ: 3** Производная функции $f'(x)$ положительна на интервалах, где функция возрастает. На графике это интервал примерно от $x = -2$ до $x = 2$. Целые точки в этом промежутке: $-1, 0, 1$. Однако, если смотреть на сетку, возрастание идет в точках с абсциссами $-1, 0, 1$. Всего 3 точки.