В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, BC = 15. Найдите sin A.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^{\circ}$) синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Сначала найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 20^2 + 15^2$$ $$AB^2 = 400 + 225$$ $$AB^2 = 625$$ $$AB = \sqrt{625} = 25$$ Теперь найдём $\sin A$: $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$$ **Ответ:** 0,6 2. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$ Для векторов $\vec{a}(4; 13)$ и $\vec{b}(-7; 9)$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-7) + 13 \cdot 9$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -28 + 117$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 89$$ **Ответ:** 89 3. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основание $ABCD$ — квадрат. Точка $O$ — центр основания, значит, $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $SO$ — высота пирамиды. Дано: $SC = 15$, $AC = 24$. В квадрате $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $OC = \frac{1}{2} AC$. $$OC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$ (угол $SOC = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора: $$SC^2 = SO^2 + OC^2$$ $$15^2 = SO^2 + 12^2$$ $$225 = SO^2 + 144$$ $$SO^2 = 225 - 144$$ $$SO^2 = 81$$ $$SO = \sqrt{81} = 9$$ **Ответ:** 9 4. Всего учёных на конференции: $6$ (Голландия) + $5$ (Италия) + $4$ (Чехия) = $15$ человек. Порядок докладов определяется жеребьёвкой, то есть каждый порядок равновероятен. Нам нужно найти вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Голландии. Вероятность того, что первый докладчик будет из Голландии, равна $\frac{6}{15}$. Вероятность того, что второй докладчик будет из Голландии, равна $\frac{6}{15}$. Вероятность того, что третий докладчик будет из Голландии, равна $\frac{6}{15}$. Вероятность того, что четвёртый докладчик будет из Голландии, также равна $\frac{6}{15}$, так как порядок выбора не влияет на вероятность выбора из конкретной группы на конкретной позиции при условии, что все возможные порядки равновероятны. То есть, вероятность того, что определённое место займёт учёный из Голландии, равна отношению количества учёных из Голландии к общему количеству учёных. $$P = \frac{\text{количество учёных из Голландии}}{\text{общее количество учёных}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$$ **Ответ:** 0,4 5. Пусть $A$ — событие, что сканер прослужит больше года. $P(A) = 0,9$. Пусть $B$ — событие, что сканер прослужит больше двух лет. $P(B) = 0,88$. Нам нужно найти вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года. Это значит, что сканер прослужит от 1 года до 2 лет. Это можно записать как $P(A \text{ и не } B)$ или $P(A \setminus B)$. Так как событие $B$ (прослужит больше двух лет) является подмножеством события $A$ (прослужит больше года), то вероятность того, что сканер прослужит больше года, но не больше двух лет, равна $P(A) - P(B)$. $$P(1 < \text{срок службы} \le 2) = P(A) - P(B) = 0,9 - 0,88 = 0,02$$ **Ответ:** 0,02 6. Найдём корень уравнения: $$\frac{x - 24}{x - 3} = -2$$ Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): $x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$. Умножим обе части уравнения на $(x - 3)$: $$x - 24 = -2(x - 3)$$ $$x - 24 = -2x + 6$$ Перенесём $x$ в одну сторону, а числа в другую: $$x + 2x = 6 + 24$$ $$3x = 30$$ $$x = \frac{30}{3}$$ $$x = 10$$ Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $10 \ne 3$, значит, корень подходит. **Ответ:** 10 7. Найдём значение выражения: $$\frac{6 \cos 207^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}$$ Используем формулу приведения для косинуса: $$\cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha$$ Применим это для $\cos 207^{\circ}$: $$\cos 207^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos 27^{\circ}$$ Теперь подставим это в выражение: $$\frac{6 \cdot (-\cos 27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}$$ Сократим $\cos 27^{\circ}$ (при условии, что $\cos 27^{\circ} \ne 0$, что верно): $$= 6 \cdot (-1) = -6$$ **Ответ:** -6