В треугольнике ABC угол C равен 90, CH - высота, AB = 8, sin A = 1/4. Найдите BH.

1. В треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^\circ$) высота $CH$ разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных исходному. В треугольнике $ABC$: $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ В треугольнике $ACH$ ($∠H = 90^\circ$): $AH = AC \cdot \cos A$. Так как $AC = AB \cdot \cos A$, то $AH = AB \cdot \cos^2 A$. $$AH = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 8 \cdot \frac{15}{16} = 7,5$$ Тогда $BH = AB - AH = 8 - 7,5 = 0,5$. **Ответ: 0,5** 2. Определим координаты векторов по клеткам: $\vec{a} = (4 - 2; 5 - 2) = (2; 3)$ $\vec{b} = (2 - 2; 0 - 1) = (0; -1)$ Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 0 - 3 = -3$$ **Ответ: -3** 3. Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то в основании параллелепипеда лежит квадрат, сторона которого равна диаметру цилиндра $a = 2R$, а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра $h = H$. $a = 2 \cdot 2,5 = 5$ $h = 2,5$ Объём параллелепипеда $V = a^2 \cdot h$: $$V = 5^2 \cdot 2,5 = 25 \cdot 2,5 = 62,5$$ **Ответ: 62,5** 4. Всего в чемпионате 16 участников. Если мы зафиксируем Сергея Хвостикова, то для него остаётся $16 - 1 = 15$ возможных соперников (это общее число исходов). Среди остальных участников $13 - 1 = 12$ спортсменов из России (благоприятные исходы). Вероятность $P = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$. **Ответ: 0,8**