1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 15, BC = 5√7. Найдите cos A.

1. В треугольнике ABC с углом $C=90^\circ$: $AC = 15$ $BC = 5\sqrt{7}$ Для начала найдём длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 15^2 + (5\sqrt{7})^2$ $AB^2 = 225 + (25 \cdot 7)$ $AB^2 = 225 + 175$ $AB^2 = 400$ $AB = \sqrt{400} = 20$ Теперь найдём $\cos A$. Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A = \frac{AC}{AB}$ $\cos A = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75$ **Ответ: 0.75** 2. Дан вектор $\vec{a} = (-5; -12)$. Длина вектора находится по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. $|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$ $|\vec{a}| = \sqrt{25 + 144}$ $|\vec{a}| = \sqrt{169}$ $|\vec{a}| = 13$ **Ответ: 13** 3. На рисунке изображён многогранник, состоящий из двух прямоугольных параллелепипедов. Все двугранные углы прямые. Размеры первого параллелепипеда (основания): Ширина = 4 Длина = 3 Высота = 6 Размеры второго параллелепипеда (выступа): Ширина = 2 Длина = 3 (видно, что длина совпадает с длиной основного параллелепипеда) Высота = 6 (видно, что высота совпадает с высотой основного параллелепипеда) Допущение: Глубина выступа, которая показана как 2, относится к ширине этого выступа. Полная ширина основания равна 4. Выступ занимает часть этой ширины. Исходя из рисунка, выступ имеет ширину 2, длину 3 и высоту 6. Площадь поверхности состоит из: 1. Площадь нижней грани: $4 \cdot 3 = 12$ 2. Площадь верхней грани: $(4-2) \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$ (или просто $4 \cdot 3 = 12$, так как выступ добавляет свою верхнюю грань, но и "забирает" часть верхней грани основного параллелепипеда) 3. Площади боковых граней: - Передняя грань основного параллелепипеда: $4 \cdot 6 = 24$ - Задняя грань основного параллелепипеда: $4 \cdot 6 = 24$ - Боковая грань справа: $3 \cdot 6 = 18$ - Боковая грань слева (основная часть): $(4-2) \cdot 6 = 2 \cdot 6 = 12$ 4. Площади боковых граней выступа: - Боковая грань выступа (передняя часть): $2 \cdot 6 = 12$ - Боковая грань выступа (задняя часть): $2 \cdot 6 = 12$ - Верхняя боковая грань выступа: $3 \cdot 6 = 18$ - Внутренняя боковая грань выступа: $3 \cdot 6 = 18$ 5. Площадь торцевой грани выступа (та, что видна сбоку): $2 \cdot 6 = 12$ 6. Площадь внутренней грани (на которую опирается выступ): $2 \cdot 6 = 12$ Давай посчитаем по-другому, как будто это большой параллелепипед и из него вырезан кусок. Или как сумма двух параллелепипедов, но учитывая общие части. Пусть большой параллелепипед имеет размеры $L_1 = 3$, $W_1 = 4$, $H_1 = 6$. Площадь его поверхности $S_1 = 2(L_1 W_1 + L_1 H_1 + W_1 H_1) = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2(12 + 18 + 24) = 2(54) = 108$. Вырез имеет размеры $L_2 = 3$, $W_2 = 2$, $H_2 = 6$. (Это тот самый выступ, который "приставлен" к основной части). Общая площадь поверхности будет суммой площадей всех видимых граней. Рассмотрим грани: - Нижняя грань: $4 \times 3 = 12$ - Верхняя грань: $4 \times 3 = 12$ - Левая боковая грань (часть без выступа): $(4-2) \times 6 = 2 \times 6 = 12$ - Правая боковая грань: $3 \times 6 = 18$ - Передняя грань (общая): $4 \times 6 = 24$ - Задняя грань (общая): $4 \times 6 = 24$ - Грань выступа сбоку (которая "закрывает" часть основной боковой грани): $2 \times 6 = 12$ - Внутренняя грань (где выступ примыкает к основной части): $2 \times 6 = 12$ Сложим все видимые площади: Нижняя: $4 \times 3 = 12$ Верхняя: $4 \times 3 = 12$ Передняя: $4 \times 6 = 24$ Задняя: $4 \times 6 = 24$ Правая боковая: $3 \times 6 = 18$ Левая боковая (видимая часть): $ (4-2) \times 6 = 12$ Боковая грань выступа (сверху): $2 \times 3 = 6$ Внутренняя грань (ступенька): $2 \times 3 = 6$ Стена выступа, которая образует ступеньку: $2 \times 6 = 12$ Итого: $12 + 12 + 24 + 24 + 18 + 12 + 6 + 6 + 12 = 126$ **Ответ: 126** 4. Всего 40 выступлений в течение 3 дней. В первый день запланировано 14 выступлений. Осталось выступлений: $40 - 14 = 26$. Эти 26 выступлений распределены поровну между оставшимися днями (вторым и третьим днём). Количество выступлений во второй день: $26 / 2 = 13$. Количество выступлений в третий день: $26 / 2 = 13$. Исполнитель из России участвует в конкурсе. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса, равна отношению количества выступлений в третий день к общему количеству выступлений. $P = \frac{\text{Количество выступлений в 3-й день}}{\text{Общее количество выступлений}}$ $P = \frac{13}{40}$ Переведём в десятичную дробь: $$\begin{array}{ccc|l} 1 & 3 & 0 & 40 \\ \hline 1 & 2 & 0 & 0,325 \\ \hline & 1 & 0 & 0 \\ & & 8 & 0 \\ \hline & & 2 & 0 \\ & & 2 & 0 \\ \hline & & & 0 \end{array}$$ **Ответ: 0.325** 5. Игральный кубик бросают дважды. Всего возможных исходов при броске двух кубиков: $6 \times 6 = 36$. Нам дано, что в сумме выпало 5 очков. Перечислим все пары, которые дают в сумме 5: $(1, 4)$ $(2, 3)$ $(3, 2)$ $(4, 1)$ Всего 4 таких исхода. Из этих исходов нужно выбрать те, где в первый раз выпало 2 очка. Такой исход только один: $(2, 3)$. Это задача на условную вероятность. Мы знаем, что событие A (сумма очков равна 5) уже произошло. Теперь нам нужно найти вероятность события B (в первый раз выпало 2 очка) при условии A. $P(B|A) = \frac{\text{количество исходов, где A и B произошли}}{\text{количество исходов, где А произошло}}$ Количество исходов, где сумма равна 5, и в первый раз выпало 2: 1 (пара (2,3)). Количество исходов, где сумма равна 5: 4 (пары (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)). $P(B|A) = \frac{1}{4} = 0.25$ **Ответ: 0.25**