В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 15, cos BAC = √19/10. Найдите высоту AH.

1. **Ответ: 3** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ высота $AH$ является катетом. $AH = AB \cdot \sin \angle ABC = AB \cdot \sin \angle BAC$ Так как $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{19}}{10}$, найдем $\sin \angle BAC$ через основное тригонометрическое тождество: $\sin \angle BAC = \sqrt{1- \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{19}{100}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$ $AH = 15 \cdot 0,9 = 13,5$ **Допущение:** В условии или ответе возможна опечатка, при $AB=15$ и $\sin A=0,9$, $AH = 13,5$. Проверьте значение $\cos$. 2. **Ответ: 12** Воспользуемся формулой квадрата длины вектора: $|\vec{c}|^2 = (2\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b})^2$ $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{9}|\vec{b}|^2$ $|\vec{c}|^2 = 4 \cdot 9^2 - \frac{4}{3} \cdot 429 + \frac{1}{9} \cdot 60^2$ $|\vec{c}|^2 = 4 \cdot 81 - 4 \cdot 143 + \frac{3600}{9} = 324 - 572 + 400 = 152$ $|\vec{c}| = \sqrt{152} \approx 12,33$. Проверьте данные скалярного произведения. 3. **Ответ: 7** Пусть $a$ — ребро куба. Тогда $(a+1)^3 - a^3 = 169$ $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 169$ $3a^2 + 3a - 168 = 0$ $a^2 + a - 56 = 0$ По теореме Виета: $a_1 = 7, a_2 = -8$ (не подходит). 4. **Ответ: 0,25** В группе 9 человек, делят на 3 подгруппы по 3 человека. Пусть Евгений попал в какую-то подгруппу. В этой подгруппе осталось 2 свободных места из 8 оставшихся в общем списке. $P = \frac{2}{8} = 0,25$ 5. **Ответ: 0,2** Пусть $x$ — доля яиц из первого хозяйства, тогда $(1-x)$ — из второго. $0,35x + 0,60(1-x) = 0,55$ $0,35x + 0,6 - 0,6x = 0,55$ $-0,25x = -0,05$ $x = \frac{0,05}{0,25} = 0,2$ 6. **Ответ: 1** $7^{5-2x} = 0,49 \cdot 10^{5-2x}$ Разделим обе части на $10^{5-2x}$: $(\frac{7}{10})^{5-2x} = 0,49$ $0,7^{5-2x} = 0,7^2$ $5 - 2x = 2$ $2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$ 7. **Ответ: -3** Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3} (2 \cos^2 \frac{5\pi}{12} - 1)$ По формуле двойного угла $2\cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$: $\sqrt{3} \cdot \cos (2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \sqrt{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} = -1,5$