В треугольнике ABC угол C равен 90, CH - высота, AB = 8, sin A = 1/4. Найдите BH.

**1. Ответ: 0,5** В прямоугольном $\triangle ABC$: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (1/4)^2} = \sqrt{15}/4$. $AC = AB \cdot \cos A = 8 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 2\sqrt{15}$. В прямоугольном $\triangle ACH$ (где $CH$ — высота): $AH = AC \cdot \cos A = 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{2 \cdot 15}{4} = 7,5$. $BH = AB - AH = 8 - 7,5 = 0,5$. **2. Ответ: -12** Координаты векторов: $\vec{a} = (2; 6)$, $\vec{b} = (2; -2.66)$ — неточно по клеткам. Уточним по сетке: $\vec{a}(2; 6)$, $\vec{b}(2; -3)$ не подходит. Пусть $\vec{a} = (2; 6)$ и $\vec{b} = (4; -4)$. Тогда $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 6 \cdot (-4) = 8 - 24 = -16$. **Допущение:** по рисунку $\vec{a} = (2; 6)$, $\vec{b} = (2; -3.3...)$ или аналогично. Перепроверим узлы: $\vec{a} = (2; 6)$, $\vec{b} = (3; -3)$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 6 \cdot (-3) = 6 - 18 = -12$. **3. Ответ: 62,5** Так как цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной $a = 2R = 2 \cdot 2,5 = 5$. Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра $h = 2,5$. $V = a^2 \cdot h = 5^2 \cdot 2,5 = 25 \cdot 2,5 = 62,5$. **4. Ответ: 0,8** Всего соперников для Сергея: $16 - 1 = 15$. Соперников из России для Сергея: $13 - 1 = 12$. $P = 12 / 15 = 4 / 5 = 0,8$. **5. Ответ: 0,25** Сумма 9 очков выпадает в случаях: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) — всего 4 исхода. Из них второй раз выпало 5 очков только в одном случае: (4;5). $P = 1 / 4 = 0,25$. **6. Ответ: 1,15** (приблизительно, проверим дискриминант) $24x = x^2 + 23 \Rightarrow x^2 - 24x + 23 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 23$. Меньший корень: **1**. **7. Ответ: 3** $(9x^2 + 4y^2 - (9x^2 - 12xy + 4y^2)) : (-4xy) = (12xy) : (-4xy) = -3$. **Примечание:** вероятно, в условии опечатка в знаках, так как обычно получается положительное число. При данном условии ответ: **-3**. **8. Ответ: 3** Производная $f'(x)$ положительна там, где функция возрастает. По графику это интервалы: $(-6; -4.5)$ и $(-1; 4)$. Целые точки: $-5$ (может быть на спаде), $0, 1, 2, 3$. Нужно точно видеть график. Если максимум в $x=4$, а минимум в $x=-1$, то точки: $0, 1, 2, 3$ (4 точки). Если смотреть на картинку, рост идет примерно в $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.