Найдите синус угла CAB, если в треугольнике ABC высота AH равна 13, AB = BC, AC = 20.

1. В треугольнике $ABC$ высота $AH$ равна 13, $AB = BC$, $AC = 20$. Найдите синус угла $CAB$. Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Высота $AH$ проведена к стороне $BC$. Чтобы найти синус угла $CAB$, нам нужен прямоугольный треугольник, где этот угол участвует, или использовать формулу площади. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Гипотенуза $AC = 20$, катет $AH = 13$. Найдем $\angle C$ в треугольнике $AHC$: $\sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{13}{20}$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Следовательно, $\sin(\angle CAB) = \sin C = \frac{13}{20} = 0,65$. **Ответ: 0,65** 2. Даны векторы $\vec{a}(4; -3)$ и $\vec{b}(7; 24)$. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(7) + (-3)(24) = 28 - 72 = -44$$ Найдем длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$: $$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $$\cos \alpha = \frac{-44}{5 \cdot 25} = \frac{-44}{125} = -0,352$$ **Ответ: -0,352** 3. Куб вписан в шар радиуса $4,5\sqrt{3}$. Найдите объём куба. Если куб вписан в шар, то диагональ куба равна диаметру шара. Пусть $a$ — длина ребра куба. Диагональ куба $d$ выражается формулой: $$d = a\sqrt{3}$$ Радиус шара $R = 4,5\sqrt{3}$. Диаметр шара $D = 2R = 2 \cdot 4,5\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$. Приравниваем диагональ куба к диаметру шара: $$a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$ $$a = 9$$ Объём куба $V$ вычисляется по формуле: $$V = a^3$$ $$V = 9^3 = 729$$ **Ответ: 729** 4. В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется синей или чёрной, равна 0,77, а того, что она окажется красной или чёрной, равна 0,58. Найдите вероятность того, что ручка окажется чёрной. Обозначим вероятности: * $P(С)$ — вероятность, что ручка синяя * $P(Ч)$ — вероятность, что ручка чёрная * $P(К)$ — вероятность, что ручка красная Нам дано: 1. Вероятность того, что ручка синяя или чёрная: $P(С \cup Ч) = P(С) + P(Ч) = 0,77$ 2. Вероятность того, что ручка красная или чёрная: $P(К \cup Ч) = P(К) + P(Ч) = 0,58$ Также мы знаем, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1: $P(С) + P(Ч) + P(К) = 1$ Из первого уравнения выразим $P(С)$: $P(С) = 0,77 - P(Ч)$ Из второго уравнения выразим $P(К)$: $P(К) = 0,58 - P(Ч)$ Подставим эти выражения в уравнение суммы вероятностей: $(0,77 - P(Ч)) + P(Ч) + (0,58 - P(Ч)) = 1$ $0,77 + 0,58 - P(Ч) = 1$ $1,35 - P(Ч) = 1$ $P(Ч) = 1,35 - 1$ $P(Ч) = 0,35$ **Ответ: 0,35** 5. Правильный игральный кубик бросили десять раз. Известно, что в какой-то момент сумма выпавших при бросаниях очков оказалась равна 4. Какова вероятность того, что к этому моменту было сделано ровно два броска? Ответ округлите до сотых. Для того чтобы сумма выпавших очков оказалась равна 4, и это произошло ровно за два броска, есть несколько вариантов, так как минимальное количество очков на кубике равно 1, а максимальное 6. Сумма 4 очков за два броска может получиться в следующих комбинациях: * (1, 3) * (2, 2) * (3, 1) Всего возможных исходов при двух бросках $6 \times 6 = 36$. Из них 3 исхода дают сумму 4. Вероятность того, что сумма выпавших очков будет 4 после двух бросков, равна $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Так как вопрос подразумевает, что сумма 4 *оказалась* в какой-то момент, но нас просят найти вероятность, что это произошло *ровно за два броска*, то мы рассматриваем только те случаи, когда сумма стала 4 впервые именно на втором броске. Это и есть $\frac{1}{12}$. $\frac{1}{12} \approx 0,08333...$ Округляем до сотых: 0,08. **Ответ: 0,08** 6. Найдите корень уравнения $16^{2x} = 2^{6x-12}$. Для решения уравнения нужно привести обе части к одному основанию. Мы знаем, что $16 = 2^4$. Перепишем уравнение: $(2^4)^{2x} = 2^{6x-12}$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{4 \cdot 2x} = 2^{6x-12}$ $2^{8x} = 2^{6x-12}$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $8x = 6x - 12$ Перенесем $6x$ в левую часть уравнения: $8x - 6x = -12$ $2x = -12$ Разделим обе части на 2: $x = \frac{-12}{2}$ $x = -6$ **Ответ: -6** 7. Найдите значение выражения $3^{3 + \log_3 2}$. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$3^{3 + \log_3 2} = 3^3 \cdot 3^{\log_3 2}$$ Мы знаем, что $3^3 = 27$. Также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$3^{\log_3 2} = 2$$ Теперь подставим эти значения обратно в выражение: $$27 \cdot 2 = 54$$ **Ответ: 54**