1. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC, AB = 20, высота AH равна 3. Найдите sin BAC.

1. **Ответ: 0,15** Решение: В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Высота $AH$ проведена к продолжению стороны $BC$ (так как треугольник тупоугольный). Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (с прямым углом $H$): $\sin \angle ABH = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{20} = 0,15$ Так как $\angle ABC$ и $\angle ABH$ — это один и тот же угол при основании равнобедренного треугольника, то: $\sin \angle BAC = \sin \angle ABC = 0,15$ 2. **Ответ: 4** Решение: Определим координаты векторов по клеткам: $\vec{a} = \{4; 2\}$ (от начала до конца вектора 4 клетки вправо и 2 вверх) $\vec{b} = \{2; -2\}$ (от начала до конца вектора 2 клетки вправо и 2 вниз) Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 8 - 4 = 4$ 3. **Ответ: 20** Решение: Пусть радиус шара равен $R$. Тогда радиус основания цилиндра также равен $R$, а его высота $h = 2R$. Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил} = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 2\pi R(2R) = 6\pi R^2$. По условию $6\pi R^2 = 30$, значит $\pi R^2 = 5$. Площадь поверхности шара $S_{шара} = 4\pi R^2$. Подставим значение: $S_{шара} = 4 \cdot 5 = 20$.