Прямая AB перпендикулярна плоскости β, BC=8, AD=25, ∠DBC=30°, площадь треугольника DBC равна 40. Найдите длину отрезка AC.

**Ответ: 17** **Решение:** 1. Так как $AB \perp \beta$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$ — прямоугольные ($\angle ABD = \angle ABC = 90^\circ$). 2. Рассмотрим $\triangle DBC$ в плоскости $\beta$. Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BC \cdot \sin(\angle DBC)$$ Подставим известные значения: $$40 = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$40 = 4 \cdot BD \cdot 0,5$$ $$40 = 2 \cdot BD \Rightarrow BD = 20$$ 3. Из прямоугольного $\triangle ABD$ по теореме Пифагора найдем $AB$: $$AB^2 = AD^2 - BD^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$$ $$AB = \sqrt{225} = 15$$ 4. Из прямоугольного $\triangle ABC$ по теореме Пифагора найдем искомый отрезок $AC$: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$