Найдите $BD$, если $AB \perp \alpha$, $\angle ACB = 45^\circ$, $AC = 5\sqrt{2}$, $AD = 13$

1. Сначала найдем сторону $AB$. Так как $AB \perp \alpha$, то треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Мы знаем $AC = 5\sqrt{2}$ и $\angle ACB = 45^\circ$. Используем синус угла $C$: $$ \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} $$ $$ AB = AC \cdot \sin(45^\circ) $$ $$ AB = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5 $$ 2. Теперь найдем сторону $BD$. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $B$. Значит, $AB \perp BD$, и треугольник $ABD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Мы знаем $AB = 5$ и $AD = 13$. Используем теорему Пифагора: $$ AD^2 = AB^2 + BD^2 $$ $$ BD^2 = AD^2 - AB^2 $$ $$ BD^2 = 13^2 - 5^2 $$ $$ BD^2 = 169 - 25 $$ $$ BD^2 = 144 $$ $$ BD = \sqrt{144} $$ $$ BD = 12 $$ **Ответ:** $BD = 12$