Найти $AD$, если прямая $AD$ перпендикулярна к плоскости треугольника $ABC$, расстояние от точки $D$ до $BC$ равно 17, $AB = 16$, $\angle B = 30^\circ$.

1. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к стороне $BC$. Так как $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DH \perp BC$. Тогда $DH$ — это расстояние от точки $D$ до $BC$, то есть $DH = 17$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (так как $AH \perp BC$) известны гипотенуза $AB = 16$ и угол $\angle B = 30^\circ$. Найдём катет $AH$: $$AH = AB \cdot \sin(\angle B)$$ $$AH = 16 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$ $$AH = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Известны катет $AH = 8$ и гипотенуза $DH = 17$. Найдём катет $AD$ по теореме Пифагора: $$AD^2 + AH^2 = DH^2$$ $$AD^2 + 8^2 = 17^2$$ $$AD^2 + 64 = 289$$ $$AD^2 = 289 - 64$$ $$AD^2 = 225$$ $$AD = \sqrt{225}$$ $$AD = 15$$ **Ответ: 15**