Отрезок KA — перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD, KD ⊥ CD. а) Докажите, что ABCD — прямоугольник. б) Докажите перпендикулярность плоскостей KAD и ABC. в) Найдите AC, если KA = 8 см, KD = 10 см, ∠CAD = 60°.

**Ответ:** а) Так как $KA \perp (ABC)$, то $KA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, значит, $KA \perp AD$. Отрезок $KD$ — наклонная, $AD$ — её проекция на плоскость $(ABC)$. По условию $KD \perp CD$ (наклонная перпендикулярна прямой в плоскости). По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, то и её проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AD \perp CD$. Так как в параллелограмме $ABCD$ есть прямой угол ($\angle ADC = 90^\circ$), то $ABCD$ — прямоугольник. б) Прямая $AD$ лежит в плоскости $KAD$. Как было доказано выше, $AD \perp CD$. Также $AD \perp KA$ (так как $KA$ — перпендикуляр к плоскости). Значит, прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($KA$ и $CD$ не подходят, нужно взять прямые в плоскости основания) — точнее, $KA \perp (ABC)$, значит любая плоскость, проходящая через $KA$ (в том числе $KAD$), перпендикулярна плоскости $(ABC)$. **Доказательство:** Так как $KA \perp (ABC)$ и $KA \subset (KAD)$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(KAD) \perp (ABC)$. в) **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KAD$ ($\angle KAD = 90^\circ$, так как $KA$ — перпендикуляр к плоскости): По теореме Пифагора: $$AD^2 = KD^2 - KA^2$$ $$AD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$ $$AD = 6\text{ см}$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (так как $ABCD$ — прямоугольник, $\angle ADC = 90^\circ$). Однако нам дан $\angle CAD = 60^\circ$ в треугольнике $ACD$: В прямоугольном треугольнике $ACD$: $$\cos(\angle CAD) = \frac{AD}{AC}$$ $$\cos(60^\circ) = \frac{6}{AC}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{6}{AC}$$ $$AC = 6 \cdot 2 = 12\text{ см}$$ **Ответ:** $12\text{ см}$