Вариант А2. 1. Отрезок KA длиной 3 см — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, в котором AB = 5 см, BD = 6 см.

**1.** а) Проекцией точки $K$ на плоскость ромба является точка $A$, так как $KA$ — перпендикуляр. Проекцией точек $B$ и $C$ являются они сами, так как они лежат в плоскости ромба. Таким образом, проекцией треугольника $KBC$ является треугольник $ABC$. б) **Ответ: $\sqrt{13}$ см** 1. Проведём перпендикуляр $AH$ к диагонали $BD$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то в точке $O$ (пересечение диагоналей) они образуют прямой угол. Однако $A$ не проецируется на $BD$ в точку $O$ как высоту треугольника $ABD$ в общем случае, если не доказано обратное. В ромбе $ABCD$: $AB=5$, $BD=6$, значит половина диагонали $BO = 3$. Из прямоугольного $\triangle ABO$: $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$. 2. $AO \perp BD$, так как диагонали ромба перпендикулярны. По теореме о трёх перпендикулярах, наклонная $KO$ также перпендикулярна $BD$. Значит, расстояние от $K$ до $BD$ — это длина отрезка $KO$. 3. Из прямоугольного $\triangle KAO$ ($KA \perp AO$): $KO = \sqrt{KA^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ см. **Допущение:** В пункте 1б под расстоянием подразумевается длина перпендикуляра от $K$ до прямой $BD$, который падает в точку пересечения диагоналей $O$, так как $AO \perp BD$ в ромбе. **2.** а) Отрезки $OK, OL, OM, ON$ — это расстояния от центра квадрата до середин его сторон. В квадрате они равны ($OK=OL=OM=ON$). Прямоугольные треугольники $SOK, SOL, SOM, SON$ равны по двум катетам ($SO$ — общий, $OK=OL=OM=ON$). Следовательно, углы $\angle SKO, \angle SLO, \angle SMO, \angle SNO$ равны. Это и есть углы между прямыми и плоскостью квадрата. б) **Ответ: $45^{\circ}$** 1. Площадь $S = a^2 = 64$ см$^2$, значит сторона квадрата $a = 8$ см. 2. Расстояние от центра до стороны $OK = a/2 = 4$ см. 3. В прямоугольном $\triangle SOK$: $SO = 4$ см, $OK = 4$ см. Тангенс угла $\alpha$: $\text{tg } \alpha = \frac{SO}{OK} = \frac{4}{4} = 1$. Значит, $\alpha = 45^{\circ}$. **3.** Пусть $CC_1$ и $DD_1$ — перпендикуляры из вершин $C$ и $D$ на плоскость $\alpha$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $CD \parallel AB$, а $AB \subset \alpha$, то $CD \parallel \alpha$. Следовательно, $CC_1 = DD_1$. Прямоугольные треугольники $CAC_1$ и $DBD_1$ равны по гипотенузе ($AC = BD$ как диагонали прямоугольника) и катету ($CC_1 = DD_1$). Значит, углы $\angle CAC_1$ и $\angle DBD_1$ равны.