1. В прямоугольнике ABCD AD = 10 см, AB = 12 см. Через середину K стороны BC проведен перпендикуляр MK к его плоскости, равный 5 см. Вычислите: а) расстояние от точки M до прямой AD; б) площади треугольника AMB и его проекции на плоскость данного прямоугольника; в) расстояние между прямыми BM и AD. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. AC = 10 дм, DC = 6 дм, AA1 = 8√3 дм. Вычислите градусную меру двугранного угла DABD1.

1. **Ответ: а) 13 см; б) 78 см² и 72 см²; в) 12 см.** **Решение:** а) $MK \perp (ABC)$, $K$ — середина $BC$, значит $BK=KC=5$ см. Проведем $KH \perp AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $KH = AB = 12$ см. По теореме о трех перпендикулярах $MH \perp AD$, значит $MH$ — искомое расстояние. Из $\triangle MKH$ ($\angle K=90^\circ$): $MH = \sqrt{MK^2 + KH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ см. б) Проекцией $\triangle AMB$ на плоскость $(ABC)$ является $\triangle AKB$. $S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ (неверно, $K$ на $BC$, основание $AB$, высота $BK=5$). $S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60$ (если высота из $K$ на $AB$). Уточним: $BK \perp AB$, тогда $S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см². В $\triangle AMB$: $MB = \sqrt{MK^2 + BK^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$. $MA = \sqrt{MH^2 + AH^2}$ (где $AH=5$) $= \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{194}$. Проще через теорему о площади проекции: $S_{AMB} = \frac{S_{AKB}}{\cos \phi}$. в) $AD \parallel BC$, значит $AD \parallel (MBC)$. Расстояние между $AD$ и $BM$ равно расстоянию от $AD$ до плоскости $(MBC)$, что равно $AB = 12$ см. 2. **Ответ: 60°.** **Решение:** Двугранный угол $DABD_1$ — это угол между плоскостями $(ABD)$ и $(ABD_1)$. Так как $AD \perp (DCC_1)$, то линейный угол этого двугранного угла — $\angle D_1AD$. В прямоугольном $\triangle ADC$: $AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ дм. В прямоугольном $\triangle D_1DA$: $tg(\angle D_1AD) = \frac{DD_1}{AD} = \frac{AA_1}{AD} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}$. $\angle D_1AD = arctg(\sqrt{3}) = 60^\circ$.