ABCD — квадрат. Вне плоскости квадрата выбрана точка K, причем KA ⊥ AB. Докажите, что прямая AB перпендикулярна к плоскости AKD.

**1. а) Доказательство:** 1) Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp AD$. 2) По условию $KA \perp AB$, значит $AB \perp KA$. 3) Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $KA$) плоскости $AKD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AB \perp (AKD)$. **б) Ответ: Да.** **2. Решение:** Четырехугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольной трапецией, так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$ (следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$), а углы при вершинах $A_1$ и $B_1$ равны $90^\circ$. Проведем высоту $AH$ из точки $A$ к отрезку $BB_1$. Тогда $A_1B_1 = AH$. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $BH = BB_1 - AA_1 = 8 - 3 = 5$ см. По теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ: 12 см.** **3. Решение:** 1) Так как $B_1B \perp AB$ и $B_1B \perp BC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $B_1B$ перпендикулярна плоскости ромба $(ABC)$. 2) Так как $A_1A \parallel B_1B$, то $A_1A$ также перпендикулярна плоскости ромба $(ABC)$. Следовательно, треугольник $A_1AC$ — прямоугольный ($\angle A_1AC = 90^\circ$). 3) В ромбе $ABCD$ диагонали перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Рассмотрим треугольник $ABO$ ($AO \perp BO$): $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{10^2 - (16/2)^2} = \sqrt{100 - 64} = 6$ см. Тогда вся диагональ $AC = 2 \cdot AO = 12$ см. 4) Из прямоугольного треугольника $A_1AC$ по теореме Пифагора: $A_1A = \sqrt{A_1C^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. **Ответ: 5 см.**