6. Решите систему уравнений { 6^{x+y} = 216, 9^{x-y} = 81 .

Давай разберем задания по очереди. ### 6. Система уравнений: $\begin{cases} 6^{x+y} = 216 \\ 9^{x-y} = 81 \end{cases}$ Представим числа как степени оснований: $\begin{cases} 6^{x+y} = 6^3 \\ 9^{x-y} = 9^2 \end{cases}$ Получаем систему линейных уравнений: $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 2 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 5 \Rightarrow x = 2,5$. Тогда $2,5 + y = 3 \Rightarrow y = 0,5$. **Ответ: (2,5; 0,5)** ### 7. Уравнение $\log_3(x^2 + 8x) = 2$: $x^2 + 8x = 3^2 \Rightarrow x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = -9, x_2 = 1$. Проверка ОДЗ ($x^2+8x>0$): для $1$: $1+8=9>0$ (подходит), для $-9$: $81-72=9>0$ (подходит). **Ответ: -9; 1** ### 8. Неравенство $\log_{1/2}(x+11) \le \log_{1/2}(7-x)$: Так как основание $1/2 < 1$, знак меняется: $x+11 \ge 7-x \Rightarrow 2x \ge -4 \Rightarrow x \ge -2$. Учитывая ОДЗ: 1) $x+11 > 0 \Rightarrow x > -11$ 2) $7-x > 0 \Rightarrow x < 7$ Пересечение: $[-2; 7)$. **Ответ: [-2; 7)** ### 9. Система уравнений: $\begin{cases} \log_9 x - \log_9 y = 1 \\ \log_4(x+7y) = 3 \end{cases}$ Из первого: $\log_9(x/y) = 1 \Rightarrow x/y = 9 \Rightarrow x = 9y$. Подставим во второе: $\log_4(9y+7y) = 3 \Rightarrow \log_4(16y) = 3 \Rightarrow 16y = 4^3 = 64 \Rightarrow y = 4$. Тогда $x = 9 \cdot 4 = 36$. **Ответ: (36; 4)** ### 10*. Область определения $y = \sqrt{4^x - 5 \cdot 2^x - 24}$: Подкоренное выражение $\ge 0$: $4^x - 5 \cdot 2^x - 24 \ge 0$. Пусть $t = 2^x$ ($t > 0$): $t^2 - 5t - 24 \ge 0$. Корни уравнения $t^2 - 5t - 24 = 0$: $D = 25 - 4(-24) = 121$. $t = (5 \pm 11)/2$. $t_1 = 8, t_2 = -3$. Неравенство: $(t-8)(t+3) \ge 0$. Учитывая $t>0$, нужно $t \ge 8 2^x \ge 8 \Rightarrow x \ge 3$. **Ответ: [3; +\infty)** ### 11*. Неравенство $\log_{1/5}\log_5(x-2) > 0$: $\log_5(x-2) < (1/5)^0 \Rightarrow \log_5(x-2) < 1$. $0 < x-2 < 5^1 \Rightarrow 2 < x < 7$. **Ответ: (2; 7)** ### 12*. $\sqrt{x-1} = x^3 - 7$: Функция $f(x) = \sqrt{x-1}$ возрастает. $g(x) = x^3 - 7$ тоже возрастает. Уравнение имеет единственный корень. Методом подбора $x=2$: $\sqrt{2-1} = 1$, $2^3 - 7 = 8-7 = 1$. **Ответ: 2** ### 13*. $(1/3)^x = x+4$: Функция $y=(1/3)^x$ убывает, $y=x+4$ возрастает. Графики пересекаются в одной точке. Проверим $x=-1$: $(1/3)^{-1} = 3$, $-1+4 = 3$. **Ответ: -1** ### 14*. $\log_2 x = 6 - x$: Функция $\log_2 x$ возрастает, $6-x$ убывает. Графики пересекаются в одной точке. Подберем значение: при $x=4$ $\log_2 4 = 2$, $6-4 = 2$. **Ответ: 4**