Дано: ABCD — параллелограмм, $AD \perp \alpha$. Найти: BD.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. 2. По условию $AD \perp \alpha$, и так как $AD \parallel BC$, то и $BC \perp \alpha$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $B$, точкой $C$ и её проекцией на плоскость $\alpha$. В этом треугольнике $BC$ является гипотенузой, а расстояние от $B$ до плоскости $\alpha$ — катетом. 4. Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость. Известно, что $AD = 12$ и $AD \perp \alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD = BC = 12$. 5. Угол между $BD$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^{\circ}$ (это угол между $BD$ и его проекцией на плоскость $\alpha$). 6. В прямоугольном треугольнике, образованном $AD$, проекцией $D'$ на плоскость $\alpha$ и отрезком $DD'$, гипотенуза $AD=12$, угол между $AD$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^{\circ}$. Однако, $AD \perp \alpha$, то есть угол между $AD$ и плоскостью $\alpha$ равен $90^{\circ}$. **Допущение**: Угол $60^{\circ}$ на рисунке - это угол между диагональю $BD$ и плоскостью $\alpha$. При этом $AD=12$ и $AD \perp \alpha$. 7. Из прямоугольного треугольника, образованного $B$, точкой $D$ и проекцией $D'$ на плоскость $\alpha$, катет $DD'$ — это расстояние от $D$ до $\alpha$, которое равно $AD=12$. Угол $BDD'$ равен $60^{\circ}$. 8. Мы можем найти $BD$ из прямоугольного треугольника $BDD'$, используя синус угла $60^{\circ}$: $$ \sin(60^{\circ}) = \frac{DD'}{BD} $$ $$ BD = \frac{DD'}{\sin(60^{\circ})} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} $$ **Ответ:** $8\sqrt{3}$