Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA = 3 дм, CB = 2 дм, CD = 1 дм.

**Ответ: 3,5 дм²** **Решение:** 1. Найдём гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $C = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ дм. 2. Найдём высоту $CH$, проведённую к гипотенузе $AB$. Площадь $\triangle ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$ $3 \cdot 2 = \sqrt{13} \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{6}{\sqrt{13}}$ дм. 3. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ (где $H$ — основание высоты $CH$) будет высотой в треугольнике $ABD$ ($DH \perp AB$). 4. Из прямоугольного треугольника $DCH$ (угол $C = 90^{\circ}$) найдём гипотенузу $DH$: $DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{6}{\sqrt{13}})^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ дм. 5. Вычислим площадь треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5$ дм².