Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Задание 205** **Ответ: $4,5\text{ дм}^2$** 1. Так как $CD \perp (ABC)$, то $CD$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $(ABC)$, следовательно, $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$. 2. Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$. Площадь треугольника $ABD$ можно найти через основание $AB$ и высоту, проведенную к нему. Однако проще заметить, что по теореме о трёх перпендикулярах, если мы проведём высоту $CH$ в $\triangle ABC$ к гипотенузе $AB$, то $DH$ будет высотой $\triangle ABD$. 3. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\text{ дм}$$ 4. Найдём высоту $CH$ треугольника $ABC$: $$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 5. Из прямоугольного $\triangle DCH$ (где $\angle C = 90^\circ$) найдём высоту $DH$: $$DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 6. Найдём площадь $\triangle ABD$: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = 3,5\text{ дм}^2$$ **Задание 206** **Ответ: $20\text{ см}$** 1. Проверим тип треугольника со сторонами $17, 15, 8$: $17^2 = 289$, $15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$. Так как $17^2 = 15^2 + 8^2$, треугольник прямоугольный (по обратной теореме Пифагора), гипотенуза равна $17$. 2. Меньший угол лежит против меньшей стороны ($8$ см). Вершина этого угла $A$. Меньшая сторона лежит между вершинами, прилежащими к катету $8$ см и гипотенузе $17$ см. Но в прямоугольном треугольнике меньший катет $8$ см исходит из вершины прямого угла или прилежит к нему. **Допущение:** Вершина $A$ — это вершина угла, противолежащего стороне $8$ см. Тогда $AM \perp (ABC)$. Расстояние от $M$ до прямой, содержащей меньшую сторону ($8$ см), — это наклонная. Так как $AM$ перпендикуляр к плоскости, а катет $AC=15$ перпендикулярен катету $BC=8$ (в вершине $C$), то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $MC$ будет перпендикулярен стороне $BC$. 3. Расстояние $MC = \sqrt{AM^2 + AC^2}$. 4. Вычислим: $MC = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ см}$. *Примечание: Если точка A — вершина, принадлежащая меньшей стороне, расстояние будет равно AM = 20 см, так как перпендикуляр уже опущен на прямую.*