Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

Ответ: $S_{ABD} = 3,5\text{ дм}^2$. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (уг. $C = 90^\circ$). Его площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\text{ дм}^2$. 2. Так как $CD \perp (ABC)$, то отрезок $CD$ является перпендикуляром к плоскости, а наклонные $DA$ и $DB$ имеют проекции $CA$ и $CB$ соответственно. 3. Треугольник $ABD$ — это искомая фигура. Для нахождения его площади удобно использовать формулу через проекцию. Пусть $\alpha$ — угол между плоскостями $ABD$ и $ABC$. Однако проще найти стороны треугольника $ABD$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $DCA$ и $DCB$ ($CD$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через $C$): $AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\text{ дм}$. $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\text{ дм}$. 4. Найдем гипотенузу $AB$ треугольника $ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\text{ дм}$. 5. Площадь треугольника $ABD$ по формуле Герона со сторонами $a=\sqrt{10}$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{13}$: $p = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2}$. Но есть способ быстрее через высоту. Проведем $CH \perp AB$ в $\triangle ABC$. По теореме о трех перпендикулярах $DH \perp AB$. Высота $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$. Тогда высота $DH$ из $\triangle DCH$ (уг. $C=90^\circ$): $DH = \sqrt{CH^2 + CD^2} = \sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{36}{13} + 1} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$. 6. Находим площадь $S_{ABD}$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5\text{ дм}^2$.