Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA = 3 дм, CB = 2 дм, CD = 1 дм.

Ответ: $3,5$ дм$^2$. **Решение:** 1. **Найдём гипотенузу $AB$** прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ (дм). 2. **Найдём высоту $CH$** треугольника $ABC$, проведённую к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$ $3 \cdot 2 = \sqrt{13} \cdot CH \implies CH = \frac{6}{\sqrt{13}}$ (дм). 3. **Рассмотрим треугольник $ABD$**. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ (где $H$ — основание высоты $CH$) является высотой треугольника $ABD$, так как $CH \perp AB$. 4. **Найдём высоту $DH$** из прямоугольного треугольника $DCH$ ($\angle DCH = 90^\circ$): $DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13+36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ (дм). 5. **Вычислим площадь треугольника $ABD$**: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5$ (дм$^2$).