В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90 градусов, CM = 12. Найдите BM.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: 12** **Решение:** 1. Рассмотрим углы при вершине $M$ на прямой $AC$. Углы $\angle AMB$ и $\angle BMC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $$\angle AMB + \angle BMC = 180^\circ$$ 2. Пусть $\angle AMK = \angle KMB = \alpha$ (так как $MK$ — биссектриса $\angle AMB$). Тогда $\angle AMB = 2\alpha$. 3. По условию $\angle KMP = 90^\circ$. Заметим, что: $$\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP = 90^\circ$$ $$\alpha + \angle BMP = 90^\circ \implies \angle BMP = 90^\circ - \alpha$$ 4. Теперь найдем $\angle PMC$, зная, что сумма смежных углов равна $180^\circ$: $$\angle PMC = 180^\circ - \angle AMB - \angle BMP = 180^\circ - 2\alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha$$ 5. В треугольнике $CBM$ отрезок $MP$ является высотой, следовательно, $\angle MPC = 90^\circ$ и $\angle MPB = 90^\circ$. 6. Мы получили, что в треугольнике $BMC$ высота $MP$ совпадает с биссектрисой (так как $\angle BMP = \angle PMC = 90^\circ - \alpha$). Следовательно, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $BC$. 7. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: $BM = CM = 12$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения