В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота, AC = 136, HC = 34 и ∠ACB = 49°. Найди ∠AMB. Ответ дай в градусах.

Рассмотрим треугольник $BHC$. Он прямоугольный, так как $BH$ - высота. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, угол $HBC$ равен: $$∠HBC = 90^\circ - ∠HCB = 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ$$ Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC$. По условию $HC = 34$, значит, $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot AM$. Также известно, что $AC = 136$, следовательно: $$AM = \frac{AC}{2} = \frac{136}{2} = 68$$ Тогда $MC = AM = 68$. Теперь рассмотрим треугольник $BMC$. Так как $BM = MC$, то треугольник $BMC$ - равнобедренный, и углы при основании равны: $∠MBC = ∠MCB = 49^\circ$. Угол $MBA$ можно найти как разность углов $MBC$ и $HBC$: $$∠MBA = ∠MBC - ∠HBC = 49^\circ - 41^\circ = 8^\circ$$ Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. По теореме о сумме углов треугольника: $$∠AMB = 180^\circ - ∠MBA - ∠BAM$$ Чтобы найти угол $BAM$, рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $$∠BAC = 180^\circ - ∠ABC - ∠ACB$$ $$∠ABC = ∠MBA + ∠MBC = 8^\circ + 49^\circ = 57^\circ$$ $$∠BAC = 180^\circ - 57^\circ - 49^\circ = 74^\circ$$ Тогда угол $AMB$ равен: $$∠AMB = 180^\circ - ∠MBA - ∠BAM = 180^\circ - 8^\circ - 74^\circ = 98^\circ$$ **Ответ: $98^\circ$**