В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

1. Рассмотрим развёрнутый угол $\angle AMC$, который равен $180^{\circ}$, так как точка $M$ лежит на стороне $AC$. 2. Угол $\angle AMC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$. Следовательно, $\angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ}$. 3. По условию $MK$ — биссектриса $\angle AMB$. Значит, $\angle KMB = \frac{1}{2} \angle AMB$. 4. По условию $\angle KMP = 90^{\circ}$. Заметим, что $\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP$. Отсюда $\angle BMP = 90^{\circ} - \angle KMB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle AMB$. 5. Также мы знаем, что $\angle BMC = \angle BMP + \angle PMC$. По условию $MP$ — высота в $\triangle CBM$, значит $MP \perp BC$, но точка $P$ должна лежать на $BC$. Однако, если рассматривать $MP$ как высоту из вершины $M$ к прямой $BC$, то из перпендикулярности и заданных углов вытекает свойство биссектрис. 6. Взаимное расположение лучей показывает, что если угол между биссектрисой одного смежного угла ($MK$) и некоторым лучом ($MP$) равен $90^{\circ}$, то этот луч $MP$ является биссектрисой второго смежного угла $\angle BMC$. Докажем это: $\angle BMP = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle AMB$. Так как $\angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC$, то $\angle BMP = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BMC) = 90^{\circ} - 90^{\circ} + ?rac{1}{2} \angle BMC = \frac{1}{2} \angle BMC$. 7. Таким образом, $MP$ — биссектриса угла $\angle BMC$. 8. В треугольнике $CBM$ отрезок $MP$ является одновременно и высотой (по условию), и биссектрисой (как доказано выше). 9. Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный с основанием $BC$. Следовательно, боковые стороны равны: $BM = CM$. 10. Так как по условию $CM = 12$, то $BM = 12$. Ответ: 12