В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90 градусов, CM = 12. Найдите BM.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90 градусов, CM = 12. Найдите BM.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Ответ: 12 **Решение:** 1. Рассмотрим развёрнутый угол $\angle AMC$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, значит, $\angle AMC = 180^{\circ}$. 2. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3. В треугольнике $ABM$ проведена биссектриса $MK$. Значит, $\angle KMB = \frac{1}{2} \angle AMB$. 4. В треугольнике $CBM$ проведена высота $MP$ к стороне $BC$. Но в условии сказано, что $\angle KMP = 90^{\circ}$. Рассмотрим положение луча $MP$: $\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP = 90^{\circ}$. 5. Подставим значение $\angle KMB$: $\frac{1}{2} \angle AMB + \angle BMP = 90^{\circ}$. Умножим всё уравнение на 2: $\angle AMB + 2\angle BMP = 180^{\circ}$. 6. Мы знаем, что $\angle AMB + \angle BMC = 180^{\circ}$. Следовательно, $2\angle BMP = \angle BMC$. Это означает, что луч $MP$ является биссектрисой угла $BMC$. 7. В треугольнике $CBM$ отрезок $MP$ является и высотой (по условию), и биссектрисой (как мы доказали). 8. Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный ($BM = CM$). 9. Так как $CM = 12$, то и $BM = 12$.

Ответ ассистента

Другие решения