В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC=136, HC=34 и ∠ACB=49°. Найди ∠AMB. Ответ дай в градусах.

Для решения задачи №6 нам понадобится знание свойств медиан и высот в треугольнике, а также умение работать с углами. 1. Рассмотрим треугольник $BHC$. Он прямоугольный, так как $BH$ - высота. Значит, $\angle HBC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ$. 2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BM$ - медиана, то $AM = MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 136 = 68$. 3. Далее, $AH = AC - HC = 136 - 34 = 102$. 4. Рассмотрим треугольник $ABH$. В нём $AH = 102$, $HC = 34$, следовательно, $AH = 3HC$. Это значит, что $BH$ не только высота, но и медиана в треугольнике $ABM$. Отсюда следует, что треугольник $ABM$ равнобедренный, и $AB = BM$. 5. Так как $AB = BM$, то треугольник $ABM$ равнобедренный, и $\angle BAM = \angle BMA$. 6. Пусть $\angle BAM = x$, тогда $\angle BMA = x$. А $\angle ABM = 180^\circ - 2x$. 7. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Подставим известные значения: $x + (\angle ABM + \angle HBC) + 49^\circ = 180^\circ$. Получаем $x + (180^\circ - 2x + 41^\circ) + 49^\circ = 180^\circ$. 8. Решим уравнение: $x + 221^\circ - 2x + 49^\circ = 180^\circ \Rightarrow -x = 180^\circ - 270^\circ \Rightarrow x = 90^\circ$. 9. Итак, $\angle BAM = 90^\circ$, что невозможно, так как это угол треугольника. Значит, где-то есть ошибка в рассуждениях. Заметим, что условие $AH = 3HC$ не означает, что $BH$ является медианой в треугольнике $ABM$. 10. Рассмотрим треугольник $ABM$. Нам нужно найти $\angle AMB$. Обозначим этот угол как $y$. Тогда $\angle ABM = 180^\circ - \angle BAM - y$. 11. В треугольнике $ABC$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Значит, $\angle BAC + \angle ABC = 180^\circ - 49^\circ = 131^\circ$. 12. $\angle ABC = \angle ABM + \angle HBC = \angle ABM + 41^\circ$. 13. $\angle BAC + \angle ABM + 41^\circ = 131^\circ \Rightarrow \angle BAC + \angle ABM = 90^\circ$. 14. В треугольнике $ABM$: $\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$. Заменим $\angle BAM + \angle ABM$ на $90^\circ$: $90^\circ + \angle AMB = 180^\circ \Rightarrow \angle AMB = 90^\circ$. **Ответ: 90**