В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90°, СМ = 12. Найдите ВМ.

1. Рассмотрим развёрнутый угол $\angle AMC$, образованный стороной $AC$ и точкой $M$ на ней. Он равен $180^\circ$ и состоит из двух углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$. Значит, $\angle AMB + \angle BMC = 180^\circ$. 2. По условию, $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, следовательно, $\angle KMB = \frac{1}{2} \angle AMB$. 3. Нам известно, что $\angle KMR = 90^\circ$. Угол $KMR$ состоит из $\angle KMB$ и $\angle BMR$. Таким образом, $\angle BMR = \angle KMR - \angle KMB = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle AMB$. 4. Выразим $\angle BMC$ через $\angle AMB$: $\angle BMC = 180^\circ - \angle AMB$. 5. В треугольнике $CBM$ отрезок $MR$ — высота, значит $\angle MRB = 90^\circ$ и $\angle MRC = 90^\circ$. 6. Рассмотрим углы вокруг луча $MB$. Угол $\angle BMR$ является частью угла $\angle BMC$. Заметим, что если $\angle KMR = 90^\circ$, где $MK$ — биссектриса одного из смежных углов, то $MR$ должна быть биссектрисой второго смежного угла (так как угол между биссектрисами смежных углов всегда равен $90^\circ$). Следовательно, $MR$ — биссектриса $\angle BMC$. 7. В треугольнике $CBM$ отрезок $MR$ является одновременно и высотой (по условию), и биссектрисой (доказано выше). 8. Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный с основанием $BC$. Значит, боковые стороны равны: $BM = CM$. 9. Так как $CM = 12$, то $BM = 12$. **Ответ: 12**.