В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Question

Вопрос:

В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 12** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle CBM$. В нём проведена высота $MP$ к стороне $CB$. По условию $\angle KMP = 90^{\circ}$. 2. Рассмотрим $\triangle ABM$. В нём проведена биссектриса $MK$. Пусть $\angle AMK = \angle KMB = \alpha$. 3. Углы $\angle AMB$ и $\angle BMC$ — смежные, их сумма равна $180^{\circ}$. 4. Заметим, что $\angle KMP = \angle KMB + \angle BMP$. По условию $\alpha + \angle BMP = 90^{\circ}$, значит $\angle BMP = 90^{\circ} - \alpha$. 5. Найдём $\angle PMC$: $\angle PMC = 180^{\circ} - \angle AMB - \angle BMP = 180^{\circ} - 2\alpha - (90^{\circ} - \alpha) = 90^{\circ} - \alpha$. 6. Так как $\angle BMP = \angle PMC = 90^{\circ} - \alpha$, то высота $MP$ в $\triangle CBM$ также является его биссектрисой. 7. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный ($BM = CM$). 8. Следовательно, $BM = CM = 12$.

Ответ ассистента

Другие решения