Дано: AD + AC = 15, BD = 7, BC = 2. Найти: AC.

**Задание 54** **Ответ: AC = 10** **Решение:** 1. На рисунке видно, что $AB \perp \beta$, значит $AB$ перпендикулярен всем прямым в плоскости $\beta$, проходящим через точку $B$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $ABD$ — прямоугольные ($\angle ABC = 90^\circ, \angle ABD = 90^\circ$). 2. Пусть $AB = h, AC = x$. По условию $AD + AC = 15$, тогда $AD = 15 - x$. 3. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $h^2 = AC^2 - BC^2 = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$. 4. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$: $h^2 = AD^2 - BD^2 = (15 - x)^2 - 7^2 = (15 - x)^2 - 49$. 5. Приравняем выражения для $h^2$: $$x^2 - 4 = (15 - x)^2 - 49$$ $$x^2 - 4 = 225 - 30x + x^2 - 49$$ $$30x = 225 - 49 + 4$$ $$30x = 180$$ $$x = 6$$ 6. Проверим условие: если $AC = 6$, то $AD = 15 - 6 = 9$. Но по чертежу и смыслу наклонных, $AC$ должна быть больше $BC$, а $AD$ больше $BD$. В уравнении выше я нашел $AC=6$, однако перепроверим расчет: $30x = 180 \Rightarrow x=6$. Подставим в теорему Пифагора: $h^2 = 6^2 - 2^2 = 32$. $AD^2 = 32 + 7^2 = 32 + 49 = 81 \Rightarrow AD = 9$. $AD + AC = 9 + 6 = 15$. Все верно. **Задание 56** **Ответ: AC = 10** **Решение:** 1. Из прямоугольного $\triangle ABD$ ($AB \perp \beta$) по теореме Пифагора найдем $AB^2$: $$AB^2 = AD^2 - BD^2$$ Нам неизвестно $BD$, но дана площадь $\triangle DBC$. $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle DBC)$. $$40 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BD \cdot \sin(30^\circ)$$ $$40 = 4 \cdot BD \cdot 0,5$$ $$40 = 2 \cdot BD \Rightarrow BD = 20$$ 2. Теперь найдем $AB$: $$AB^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$$ $$AB = 15$$ 3. Треугольник $ABC$ — прямоугольный (так как $AB \perp BC$): $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$ **Допущение:** В задании 56 вкралась опечатка в моем быстром ответе выше, пересчитаем: $AB=15$, $BC=8$, значит $AC = \sqrt{225+64} = 17$.