В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 120°, AC = 3√3. Найдите AB.

**Ответ: 9** **Решение:** 1. Так как по условию $AC = BC = 3\sqrt{3}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. 2. Проведём высоту $CH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ACH$ (где $\angle H = 90^{\circ}$): - $\angle ACH = \angle C : 2 = 120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$ (так как $CH$ — биссектриса); - $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. Найдём катет $AH$ через косинус угла $A$: $AH = AC \cdot \cos A$ $AH = 3\sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ 5. Так как $CH$ — медиана, то $H$ — середина $AB$: $AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4,5 = 9$