Дано: AO ⊥ α, AC = 12√2, ∠BAO = 45°, ∠CAO = 60°. Найти AB.

**Задание 50** **Ответ: $6\sqrt{6}$** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$ (так как $AO \perp \alpha$). В нём $\angle CAO = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle ACO = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2. Катет $AO$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит, он равен половине гипотенузы $AC$: $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (так как $AO \perp \alpha$). В нём $\angle BAO = 45^{\circ}$, значит, треугольник равнобедренный, и $\angle ABO = 45^{\circ}$. 4. Найдём гипотенузу $AB$ через косинус угла $\angle BAO$: $$AB = \frac{AO}{\cos 45^{\circ}} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12$$ **Допущение:** В условии опечатка в обозначении перпендикуляра ($AB \perp \alpha$), судя по чертежу, перпендикуляром является отрезок $AO$. Если искать $AB$ как наклонную, то ответ $12$. Если же условие $AB \perp \alpha$ верно, то $AB$ — это катет, и решение меняется, но чертёж противоречит этому. --- **Задание 52** **Ответ: 7** **Решение:** 1. Из прямоугольного треугольника $ABD$ (так как $AB \perp \beta$) найдём квадрат катета $AB$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 - BD^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора найдём наклонную $AC$ (обозначенную как $x$): $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{45 + 2^2} = \sqrt{45 + 4} = \sqrt{49} = 7$$