Вариант 2. 1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔDCO.

**Задание 1** **Ответ: $\angle C = 65^{\circ}$** 1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CDO$. По условию $AB = CD$. 2. В треугольнике $\triangle ABC$ (исходя из чертежа 5.91 и равенства углов) $\angle BAC = \angle ACD$ как накрест лежащие при параллельных прямых (если $AB \parallel CD$). Однако, по условию дано: $\angle ABC = 65^{\circ}$, $\angle ADC = 45^{\circ}$, $\angle AOC = 110^{\circ}$. 3. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные. $\angle AOB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. 4. Из суммы углов треугольника $\triangle ABO$: $\angle BAO = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 65^{\circ} = 45^{\circ}$. 5. В $\triangle CDO$: $\angle DCO = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 45^{\circ} = 65^{\circ}$. Следовательно, $\angle C = 65^{\circ}$. 6. Так как в $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ сторона $AB=CD$ и прилежащие к ней углы равны ($\angle B = \angle C = 65^{\circ}$, $\angle A = \angle D = 45^{\circ}$), то $\triangle ABO = \triangle DCO$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам). **Задание 2** **Ответ: $\angle A = 78^{\circ}$, $\angle C = 78^{\circ}$, $\angle B = 24^{\circ}$** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 2. По условию $\angle A + \angle C = 156^{\circ}$. 3. $\angle A = \angle C = 156^{\circ} : 2 = 78^{\circ}$. 4. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}$. **Задание 3** **Доказательство:** 1. Т.к. $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — равнобедренные прямоугольные с общим основанием $AC$, то углы при основании равны $45^{\circ}$. 2. $\angle BAC = 45^{\circ}$ и $\angle ACD = 45^{\circ}$. 3. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. 4. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: $AB \parallel CD$. **Задание 4** **Ответ: а) Между 6 и 7; б) $2$ см.** а) В треугольнике $BDC$: $\angle BDC = 60^{\circ}$, $\angle DBC = 90^{\circ}$. Тогда $\angle C = 30^{\circ}$. Катет $BD$, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы $BC$. Значит, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 4 = 8$ см. **Допущение:** В пункте (а) текста вопроса «Между какими целыми числами заключена длина...» возможно опечатка в условии чертежа или вопроса, так как $8$ — целое число. Если рассматривать оценку через неравенство треугольника в более сложных фигурах, но здесь $BC=8$. б) Медиана $BE$ в прямоугольном треугольнике $DBC$, проведенная к гипотенузе $DC$ (если рассматривать прямой угол $B$ и гипотенузу $DC$ по рис. 5.92): в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Если $BD=4$ и $\angle BDC=60^{\circ}$, то $DC = BD / \cos(60^{\circ}) = 4 / 0.5 = 8$. Тогда $BE = 8 / 2 = 4$. Если же медиана $BE$ в $\triangle BDC$ проведена из прямого угла к стороне $DC$: $BE = \frac{1}{2} DC = 4$ см. Однако, на рисунке 5.92 точка $E$ не обозначена. Обычно в таких задачах $BE$ — медиана к $DC$. Если $E$ — середина $DC$, то в $\triangle BDC$ $BE = 4$.