50 Дано: AB ⊥ α, AC = 12√2, ∠BAO = 45°, ∠CAO = 60°. Найти: AB.

50. **Ответ: 6** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$ (так как $AO \perp \alpha$, то $AO \perp OC$). $$\cos(\angle CAO) = \frac{AO}{AC}$$ $$AO = AC \cdot \cos(60^{\circ}) = 12\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 6\sqrt{2}$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ ($AO \perp OB$): $$\cos(\angle BAO) = \frac{AO}{AB}$$ $$AB = \frac{AO}{\cos(45^{\circ})} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12$$ **Допущение:** В условии задачи 50 на картинке указано $AB \perp \alpha$, но по чертежу и логике построения перпендикуляром является отрезок $AO$. Решение приведено для $AO \perp \alpha$. 52. **Ответ: 7** 1. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ ($AB \perp \beta$, значит $AB \perp BD$) по теореме Пифагора найдем высоту $AB$: $$AB^2 = AD^2 - BD^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$$ 2. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ ($AB \perp BC$) по теореме Пифагора найдем наклонную $AC$ ($x$): $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{45 + 2^2} = \sqrt{45 + 4} = \sqrt{49} = 7$$