В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $45^\circ$, угол $B$ равен $60^\circ$, $BC = 6\sqrt{6}$. Найдите $AC$.

Для нахождения стороны $AC$ используем теорему синусов: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$$ Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ Умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$AC = \frac{6\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AC = \frac{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$AC = \frac{6\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$ $$AC = 6\sqrt{\frac{18}{2}}$$ $$AC = 6\sqrt{9}$$ $$AC = 6 \cdot 3$$ $$AC = 18$$ **Ответ:** $AC = 18$