Реши задачу 21: Автомобиль выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно, увеличив скорость на 5 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь на 24 минуты меньше. Найдите скорость автомобиля на пути из А в Б.

Задача 21: Пусть $v$ - скорость автомобиля из города А в город Б (км/ч). Тогда время, затраченное на путь из А в Б, равно $\frac{180}{v}$ часов. На обратном пути скорость была $v+5$ км/ч, а время составило $\frac{180}{v+5}$ часов. Известно, что на обратный путь было затрачено на 24 минуты (или $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ часа) меньше. Получаем уравнение: $$\frac{180}{v} - \frac{180}{v+5} = \frac{2}{5}$$ Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $5v(v+5)$: $$5 \cdot 180 (v+5) - 5 \cdot 180 v = 2v(v+5)$$ $$900(v+5) - 900v = 2v^2 + 10v$$ $$900v + 4500 - 900v = 2v^2 + 10v$$ $$2v^2 + 10v - 4500 = 0$$ $$v^2 + 5v - 2250 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2250) = 25 + 9000 = 9025$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$$ Корни уравнения: $$v_1 = \frac{-5 + 95}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ $$v_2 = \frac{-5 - 95}{2} = \frac{-100}{2} = -50$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 45$ км/ч. **Ответ: 45 км/ч**