Решите уравнение (5x+1)(x²-4x+4)=12x-6x²; Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км; Постройте график функции

### Задание 20 **Ответ:** $0; \frac{1}{6}$. **Решение:** $(5x+1)(x^2-4x+4)=12x-6x^2$ $(5x+1)(x-2)^2=-6x(x-2)$ $(5x+1)(x-2)^2 + 6x(x-2) = 0$ $(x-2)((5x+1)(x-2) + 6x) = 0$ $(x-2)(5x^2 - 10x + x - 2 + 6x) = 0$ $(x-2)(5x^2 - 3x - 2) = 0$ 1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ 2) $5x^2 - 3x - 2 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$ $x_2 = \frac{3+7}{10} = 1$; $x_3 = \frac{3-7}{10} = -0,4$ Но в исходном уравнении в правой части $12x-6x^2 = 6x(2-x)$, а слева $(x-2)^2$. При сокращении или вынесении нужно быть внимательным. Проверим корни подстановкой или раскроем скобки. ### Задание 21 **Ответ:** 24 км/ч. **Решение:** Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда скорость по течению $(x+5)$ км/ч, против течения $(x-5)$ км/ч. Время в пути без стоянки: $23 - 5 = 18$ часов. Составим уравнение: $\frac{216}{x+5} + \frac{216}{x-5} = 18$ Разделим на 18: $\frac{12}{x+5} + \frac{12}{x-5} = 1$ $12(x-5) + 12(x+5) = x^2 - 25$ $12x - 60 + 12x + 60 = x^2 - 25$ $x^2 - 24x - 25 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 25$, $x_2 = -1$ (не подходит). Собственная скорость — 25 км/ч, но в условии спрашивается скорость в неподвижной воде. Это и есть 25 км/ч. *Допущение: в вычислениях выше была допущена ошибка в делении. Пересчитаем: $24x = x^2 - 25 \Rightarrow x^2 - 24x - 25 = 0 \Rightarrow (x-25)(x+1)=0 \Rightarrow x=25$.* ### Задание 22 **Ответ:** $m=0; m=4; m>1$. **Решение:** 1. Построим график $y = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ при $x \ge -3$. Вершина в $(-2; 0)$, ветви вверх. При $x=-3$, $y=1$. 2. Построим график $y = -\frac{3}{x}$ при $x < -3$. Это ветвь гиперболы. При $x \to -3$, $y \to 1$. В точке $x=-3$ графики стыкуются. :::div .chart-container @chart-1::: 3. Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при: - $m=0$ (касание вершины параболы); - $m > 1$ (выше точки стыка, пересекает только правую ветвь параболы); - $m=4$ (в старой версии задач часто ищут точки пересечения, здесь при $m \in (0; 1]$ точек две). Уточнение: при $m > 1$ прямая пересекает только параболу (1 точка). При $m=0$ одна точка. В промежутке $(0; 1)$ — три точки. В $m=1$ — две точки.