1. В треугольнике ABC AB=BC=10 см, AC=12 см. Через точку B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. а) Укажите проекцию треугольника DAC на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

**Вариант 1** 1. а) **Ответ: треугольник $ABC$** Так как $D$ проектируется в точку $B$ (поскольку $BD \perp ABC$), то проекцией треугольника $DAC$ является треугольник $BAC$. б) **Ответ: 17 см** Проведём высоту $BH$ в $\triangle ABC$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике $BH = \sqrt{AB^2 - (AC/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см. По теореме о трёх перпендикулярах расстояние от $D$ до $AC$ — это отрезок $DH$. Из прямоугольного $\triangle DBH$: $DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. 2. а) **Доказательство:** Проекциями наклонных $SA, SB, SC, SD$ на плоскость квадрата являются отрезки $OA, OB, OC, OD$. В квадрате диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит $OA=OB=OC=OD$. Если проекции равны, то и углы между наклонными и плоскостью (углы $SAO, SBO, SCO, SDO$) равны. б) **Ответ: $45^\circ$** Периметр равен 32 см, значит сторона квадрата $a = 8$ см. Половина диагонали $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. В $\triangle SOA$ катеты $SO = 4\sqrt{2}$ и $AO = 4\sqrt{2}$ равны, значит $\angle SAO = 45^\circ$. **Вариант 2** 1. а) **Ответ: треугольник $ABC$** Так как $KA \perp ABC$, то точка $K$ проектируется в $A$. Проекция $\triangle KBC$ — это $\triangle ABC$. б) **Ответ: 5 см** В ромбе диагонали перпендикулярны. Расстояние от $A$ до $BD$ — это половина диагонали $AC$. В $\triangle ABO$ ($O$ — центр): $AO = \sqrt{AB^2 - (BD/2)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см. По теореме о трёх перпендикулярах искомое расстояние $d = \sqrt{KA^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. 2. а) **Доказательство:** Проекциями наклонных $SK, SL, SM, SN$ являются отрезки, соединяющие центр $O$ с серединами сторон. Эти отрезки равны половине стороны квадрата. Так как проекции равны, то и углы наклонных с плоскостью равны. б) **Ответ: $45^\circ$** Площадь 64 см$^2$, значит сторона $a = 8$ см. Расстояние от центра до стороны $r = a/2 = 4$ см. В прямоугольном треугольнике с катетами $SO = 4$ и $r = 4$ углы при основании равны $45^\circ$.